автор лого - Климентий Левков Дом ученых и специалистов Реховота
(основан в июле 1991 года)
 
 
В Доме ученых и специалистов:
 
----------------
 
 
Дневник
мероприятий
Архив Форум
 
Дом ученых и специалистов Реховота

 

Дом ученых и специалистов Реховота (Израиль)

Дом ученых и специалистов Реховота (Израиль)

Израильская Независимая Академия Развития Наук

СЕРИЯ "ЗНАНИЕ" выпуск № 117

автор – Яков Иовнович

Израильская Независимая Академия Развития Наук

   

август, 2021 г.

 

Как вычислить коэффициент заражаемости R?

 

Математика – универсальный язык, с помощью которого можно раскрыть множество закономерностей, часто не видимых невооруженным глазом. В эти дни миллионы людей во всем мире с тревогой следят за развитием эпидемии коронавируса, уносящей тысячи человеческих жизней, сотни тысяч болеют, миллионы находились или находятся в изоляции. Как понять поведение вируса, как понять, идет ли эпидемия на спад или, наоборот, растет? Это возможно сделать, вычисляя так называемый коэффициент или индекс распространения коронавируса, обозначаемый английской буквой R или буквами Rt (сокращение от английского Reproduction transmission). Об этом и наш рассказ. Ответом на поставленные в начале вопросы занимается раздел математики, который называется "математическое моделирование". Смысл математического моделирования заключается в том, что на основе рассмотрения того, как происходит тот или иной процесс, составляются формулы или уравнения, которые описывают происходящее явление и это позволяет дать численную оценку величинам, характерным для процесса, о котором идет речь. В нашем случае речь идет о процессе передачи вируса от больного другим людям, которые в, свою очередь, заражают других. Цепочку процесса заражения можно представить так, как это видно на рис. 1,2 (для выполнения рис. 1,2 использована иллюстрация, взятая из интернета)


Базовая математическая модель эпидемии

 

Как показано на верхнем рисунке 1, каждый носитель вируса на каждом этапе заражает троих, каждый из которых заражает следующих троих и т.д. Чтобы установить закономерность развития эпидемии, то есть число зараженных, начиная с какого-то момента времени, нужно в случае, представленном на рисунке 1, перемножить число заражений 3 на себя столько раз, сколько времени пройдет с начала эпидемии:

         3•3•3…•3, то есть возвести 3 в степень, равную промежутку времени t, прошедшему с начала заражения: 3t . Если начать считать не с самого первого носителя вируса, а, например, с момента, когда зараженных было N0. Тогда формула, определяющая число зараженных N через время t равно

N= N0• 3t                (1)

Теперь рассмотрим ситуацию, представленную на рис.2. Здесь на каждом этапе заражается только один, не имеющий иммунитета, а остальные участники контактов либо имеют иммунитет, либо, если его не имеют, но непосредственно с человеком, способным заразить, не контактируют. Поэтому число зараженных в каждый момент времени только 1 (один) человек и аналогичная формуле (1) формула (2) выглядит так:

N= N0 • 1t               (2).

Но так как 1t =1 при любом t, число зараженных N в каждый момент времени равно N0. Понятно, что картина развития эпидемии в случае рис.1 значительно более стремительная, так как мы имеем дело с резко возрастающей геометрической прогрессией. И, если, скажем, в начальный момент был один человек, способный заразить, то через 5 дней зараженных будет 243, а через 10 дней таковых станет 59,049. Этого развития событий и опасается система здравоохранения любой страны. В общем случае, если коэффициент передачи не 3 (как на рис. 1) и не 1 (как на рис.2), а равен, скажем, R, то общая формула числа подсчета числа заражений N при начальном числе зараженных N0 через промежуток времени t выглядит так:

N= N0 • Rt               (3)

Это и есть самая простая модель развития эпидемии.

 

Если R > 1, то число зараженных со временем растет, если R< 1, то со временем эпидемия затухает. Другими словами, коэффициент R показывает в среднем, сколько людей заражает один больной: если коэффициент меньше 1, то в среднем, один больной заражает меньше одного человека скажем, R = .8, тогда 10 человек заразят только 8, а двое останутся незараженными, 8 заразившихся, в свою очередь, заразят только 6 (точнее, 6.4) и, со временем, это приведет к затуханию процесса заражения. Если же коэффициент R больше 1, то один человек в среднем заражает больше одного (к примеру, R =1.2, то есть 10 человек заражают 12, а 12 зараженных, в свою очередь каждый 12, то есть в общей сложности 144 из первоначальных 10) и эпидемия разрастается. Система здравоохранения в Израиле в начале эпидемии была обеспокоена развитием событий, так как коэффициент R был в первые недели на уровне 1.27.

Продолжение процесса заражения с таким коэффициентом передачи приводит к тому, что уже через несколько дней количество зараженных возрастает до многих тысяч. Поэтому необходимо принимать решительные меры, учитывая, что при таком сценарии развития событий система здравоохранения не может справиться с гигантской нагрузкой. Необходимо также учесть, что новая инфекция почти незнакома сегодняшней медицине, и не хватает не только медицинского оборудования, но и медицинского персонала. Какие же возможности были с целью повлиять на ход эпидемии?

Вариант 1. Не принимать никаких дополнительных действий с целью достижения иммунитета у населения, так называемого, "стадного" иммунитета. Так поступали в средние века, когда в результате смертоносных эпидемий гибли целые города и страны. Когда на каком-то этапе "стадный" иммунитет получали трое из наугад взятых четверых в месте эпидемии, она постепенно прекращалась, ибо коэффициент передачи R становился меньше единицы (R < 1).

В по этому пути пошла в наши дни Швеция, собиралась пойти Англия. В результате такой политики от эпидемии в Швеции число зараженных составили сотни тысяч человек, а число умерших – более десяти тысяч человек. И это несмотря на то, что граждане этой страны вполне ответственно относятся к соблюдению мер предосторожности.

Вариант 2. Объявить карантин и самоизоляцию, воздвигнув на пути распространения вируса невидимую стену, закрыв предприятия, культурно- массовые учреждения, спортивные состязания, систему просвещения, транспорт, передвижения людей. По такому пути пошли многие страны, включая Израиль.

В этом случае цепочка заражений прерывается и, хотя это не решает проблему эпидемии окончательно, позволяет медицинскому персоналу, у которого нет знаний и опыта борьбы с новой эпидемией, справится с более ограниченным наплывом тяжелобольных.

Статистика динамики заражений за период самоизоляции и карантина доказывает справедливость такого подхода. Если до объявления изоляции и карантина коэффициент передачи был равен 1.27, то после принятия мер изоляции он опустился до 1.12, что привело к возможности выхода из изоляции. Общее число зараженных к моменту выхода из первого карантина не превысило 12,500 человек. В случае, если бы коэффициент передачи остался бы на уровне 1.27 следуя построенной модели, общее число зараженных к середине апреля достигло бы порядка 300,000. И самое сложное то, что если число тяжелобольных к концу периода изоляции составляло 180 человек, что составляет 1.5% от общего числа зараженных, то число тяжелобольных в ситуации без изоляции достигло бы 45,000 человек, при этом система здравоохранения не смогла бы устоять, как это и случилось в более оснащенных с медицинской точки зрения странах. К сожалению, выход из первого карантина был чересчур поспешным, контакты зараженных с незараженными людьми стал более интенсивным и это привело к росту числа зараженных, коэффициент заражаемости R стал снова расти, и это привело к необходимости введения второго карантина. Рост заболеваемости в дальнейшем привел к появлению мутаций вируса, а это, в свою очередь, привело к росту заболеваемости, увеличению коэффициента R и последующему третьему карантину.

Наша задача состояла в объяснении смысла так называемого коэффициента заражаемости и способа его определения.

 

Если бы в период первого карантина существовала вакцина против коронавируса и население было полностью привита, то от эпидемии на короткий срок не осталось бы и следа, как это следует из рис.2, приведенного выше. Но поскольку вакцина появилась на практике только через девять месяцев после начала эпидемии и число заражений продолжало расти, а с ними и число новых мутаций, охвативших слои населения, которые не были охвачены эпидемией в её начале (молодежь, дети), что нашло свое отражение в росте коэффициента R.

 

В настоящее время идет соревнование между числом заболевших и числом, прошедших вакцинацию, которые выпадают из числа тех, кто может быть заражаем.

Тот же рис.2 четко показывает, что увеличение числа вакцинированных уменьшает возможности заражения и ведет к прекращению эпидемии. Поэтому отказ части населения от прививок в общественном плане (а не в личном) является существенным тормозом в борьбе с эпидемией. Если человек решает для себя не прививаться, он обязан вывести себя из числа тех, кто участвует в контактах между людьми, то есть изолировать себя от общества, в таком случае у него есть право отказаться от прививки.

 

Практическое вычисление коэффициента R.

 

Пример 1. Пусть в конкретный день число зараженных было 4624 (данные взяты из официальной информации министерства здравоохранения Израиля)

 

А через 38 дней новых зараженных оказалось 274. Каков коэффициент заражаемости?

 

Решение. Подставляем в формулу (3) значения N = 274, N0= 4624, t=38 Получаем, 274/4624= R38

 

Возведем обе части в степень 1/38

(274/4624)(1/38) = (R38)(1/38)

 

После возведения в степень правой части получим,

(274/4624)(1/38) = R

 

Поменяв местами левую и правую части, получаем,

R = (274/4624) (1/38)

 

Или после выполнения арифметических действий:

R = (274/4624)(1/38) =0.93

 

Полученное значение R и есть коэффициент заражаемости.

 

В данном случае он равен и это означает, что в среднем, один зараженный заражает 0.93 незараженных, а это, в свою очередь, говорит о том, что эпидемия идет на убыль.

 

На практике используются модели, в которых используются усредненные данные, то есть средние арифметические данные за несколько дней, а не данные за какой-то один конкретный день, причем, в России для усреднения берутся данные за четыре последовательно взятых дня, а в Израиле за семь дней, потому что в Израиле есть дни недели (пятница и суббота, когда количество проводимых анализов в виду их непроводимости резко отличается от количества проводимых анализов за другие дни недели) .

Построенная нами модель, безусловно, проста, она не учитывает многие факторы, влияющие на динамику развития эпидемии. Кстати, такие модели изучаются в израильской школе в курсе математики.

 

Зная значение коэффициента заражаемости, предполагая, что он таким сохранится в течение того или иного отрезка времени, можно прогнозировать, сколько зараженных окажется через выбранный промежуток времени.

 

Пример 2. В определенный момент времени число зараженных равно 300, а коэффициент заражаемости равен 1.27. Каким будет число зараженных через, например, неделю, месяц? (при условии, что сохранится тот же коэффициент заражаемости, то есть не будут приняты меры для борьбы с эпидемией)

 

Решение. Подставляем в формулу (3) значения N0 = 300, R=1.27

И в случае а) недели t= 7           б) месяца t= 30, получаем:

а) N= 300•1.277 = 1,599        б) N= 300•1.2730=390151

 

Ответ: при начальном числе зараженных равном 300 и коэффициенте заражаемости равном 1.27 через неделю число зараженных окажется равным 1599, а через месяц 390151

 

Построенная модель позволяет также, зная исходное число зараженных и коэффициент заражаемости, определить, через какой промежуток времени, число зараженных достигнет определенного уровня числа зараженных.

 

Пример 3. В определенный момент времени число зараженных равно 20, а коэффициент заражаемости равен 1.3. Через какой промежуток времени число зараженных достигнет величины 300? (при условии, что сохранится тот же коэффициент заражаемости, то есть не будут приняты меры для борьбы с эпидемией). Обозначим исходные данные:

N= 300, N0=20, R=1.3

 

Решение. Подставляем данные в формулу (3). Получим, 300=20•1.3t. или 300/20=1.3t, 15=1.3t.

 

Взяв логарифмы от левой и правой частей, получаем: lg15= lg1.3t или после вынесения t за знак логарифма и деления t= lg15/ lg1.3 В результате, после вычисления t= 10.3

 

Ответ: при начальном числе зараженных равном 20 через 10.3 дня число зараженных достигнет числа 300 при коэффициенте заражаемости 1.3

 

В заключение читателю предлагается самостоятельно решить несколько практических задач, аналогичных приведенным примерам и сравнить полученные результаты с ответами.

Задача № 1 (аналогична примеру №1). N= 5000    N0= 20     t= 10    R=?

 

Место для решения:

Ответ: R = 1.74

Задача №2 (аналогична примеру №2) N0= 100    R= 1    t= 0.75    N=?

 

Место для решения:

Ответ: N=100

Задача №3 (аналогична примеру №3) N0= 500   R= 1.5    N= 10000    t=?

 

Место для решения:

Ответ: t= 7.39

בית המדענים והמומחים עולים ליד מחלקה לקליטת העלייה עיריית רחובות

 האקדמיה העצמ אית לפיתוח מדע בישראל סידרת ידע גיליון

מס' 117 מגפת הקורונה בשפה מתמטית )בש פה הרוסית ( המחבר – יעקב יובנוביץ

(Продолжение)

 

Обсудить на форуме


 

Страница 1 из 1
ГлавнаяДневник мероприятийПлан на текущий месяц
copyright © rehes.org
Перепечатка информации возможна только при наличии согласия администратора и активной ссылки на источник! Мнение редакции не всегда совпадает с мнением автора.