автор лого - Климентий Левков Дом ученых и специалистов Реховота
(основан в июле 1991 года)
 
 
В Доме ученых и специалистов:
----------------
 
 
Архив
 
Дом ученых и специалистов Реховота

 


Вестник
Дома ученых и специалистов Реховота


(выпуск № 26)


Проект
"Дело жизни"



Математические модели в различных системах

Автор: Яков Иовнович      

 

Часть 1

Исследование
краевых задач, заданных на графе,
для систем дифференциальных уравнений
гиперболического типа с нелинейными граничными условиями и применение к расчету процессов в гидравлических системах

 

 

 

 

 

 

 

 

© BEIT HAMADANIM, REHOVOT
ISSN - 1565-9836

www.rehes.org

Отзывы и заказы по тел. 08- 9455328, 050-9455328

 


 

Часть 1

Исследование
краевых задач, заданных на графе,
для систем дифференциальных уравнений
гиперболического типа с нелинейными граничными условиями и применение к расчету процессов в гидравлических системах

 

Важным классом дифференциальных уравнений динамики жидкости (газа), распространения электрического тока вдоль разветвленной системы проводников, колебания систем с распределенными параметрами детерминированной и стохастической природы и др. являются системы уравнений в частных производных гиперболического типа.

 

Как сами эти уравнения, так и соотношения между искомыми функциями этих уравнений на границе и в начальный момент времени могут быть при этом линейными и нелинейными, а сами неизвестные функции зависеть как от двух, так и от большего числа независимых переменных.

В настоящей работе исследуются краевые задачи для совокупности систем гиперболических уравнений первого порядка от двух независимых переменных, заданных на графе. изучению таких задач посвящена литература, в которой рассматривались задачи с линейными граничными условиями.

 

В отличие от этих работ в настоящей работе изучаются краевые задачи на графе для систем гиперболических уравнений первого порядка с нелинейными граничными условиями, причем, основной акцент ставится на сочетание двух ключевых для данной работы понятий - нелинейные граничные условия и графы. Актуальность такого рода задач объясняется , например, потребностями расчета при эксплуатации напорных гидравлических систем.

 

Отметим, что изучаются решения краевых задач в нормах пространства С(m) - m раз непрерывно дифференцируемых функций, определенных на графе. Полученные результаты допускают обобщение на случай систем полулинейных уравнений.

 

В работе защищается:

 

- постановка краевой задачи на графе для совокупности систем гиперболических уравнений с нелинейными граничными условиями,

- доказательство нелокальных теорем существования и корректности задачи в норме С(1) в случае различных граничных условий,

- распространение априорных оценок решения в нормах С, С(1). С(2) для нелинейных граничных условий,

- постановку задачи и обоснование решения задачи для системы гиперболических уравнений 3 порядка, определенной на бесконечном графе,

- обоснование приближенного метода решения краевой задачи на графе при нелинейных граничных условиях и частного случая изменения параметров.

- результаты практической реализации полученных результатов при решении задач неустановившегося течения жидкости в разветвленных трубопроводах и сравнении с материалами натурных наблюдений.

 

Работа состоит из введения, пяти глав, результатов и выводов, описания практической ценности и внедрения, списка литературы и приложения, в котором приведены примеры компьютерных расчетов.

 

В первой главе ставятся основные задачи исследования и анализируются дифференциальные уравнения одномерных неустановившихся течений.

 

Вторая глава посвящена установлению теорем существования, единственности и корректности решения краевых задач, заданных на графе, с нелинейными граничными условиями, а также обобщение полученных результатов.

 

В третьей главе изучаются краевые задачи на графе для систем гиперболических уравнений с дифференциальным оператором в граничных условиях, задачи с условиями на всей границе и устойчивость тривиальных решений задачи Коши для в случае полубесконечного графа.

 

В четвертой главе рассматриваются вопросы обоснования разностных методов решения поставленных задач, а также предлагается разностная схема решения краевой задачи для одного случая изменения параметров.

 

В пятой главе дается приложение изученных в работе вопросов к задачам неустановившихся течений в разветвленных трубопроводных системах. Приводятся примеры решения задач для неустановившихся течений.

Более подробно содержание каждой главы дается во введении к ней.

 

Оглавление

 

Введение

 

Глава 1. Постановка основной задачи и анализ дифференциальных уравнений одномерных неустановившихся течений жидкости

1.1. постановка основной задачи

1.2. Об уравнении энергии

1.3. анализ уравнения движения

1.4. Об уравнении неразрывности

1.5. Аналогия рассмотренной модели математическим моделям других процессов

 

Глава 2. Краевая задача, заданная на графе, для систем дифференциальных уравнений гиперболического типа с нелинейными граничными условиями

2.1. Постановка краевой задачи для систем дифференциальных уравнений с нелинейными условиями на графе

2.2. Оценки равномерной ограниченности семейства операторов для разностной задачи в норме С

2.3. Оценки равномерной ограниченности семейства разностных операторов в норме С(1)

2.4. Оценки равномерной ограниченности семейства разностных операторов в норме С(2)

2.5. Сходимость последовательностей семейств интерполяций разностных операторов к решению дифференциальной задачи на графе в норме С(1) и теоремы существования

2.6. Единственность решения краевой задачи для систем гиперболических уравнений с нелинейными граничными условиями

 

Глава 3. Разрешимость и корректность задач, определенных на графе, для систем дифференциальных уравнений гиперболического типа

3.1. Существование решения краевой задачи при наличии в краевых условиях обыкновенных дифференциальных уравнений

3.2. Об одной краевой задаче для систем уравнений гиперболического типа

3.3. Устойчивость линейной си системы трех гиперболических уравнений в случае Бесконечного графа

 

Глава 4. Разностные методы решения краевых задач, заданных на графе, для систем дифференциальных уравнений гиперболического типа с нелинейными граничными условиями

4.1. Сходимость явных разностных схем к точному решению краевой задачи при нелинейных граничных условиях

4.2. Метод решения краевой задачи для системы дифференциальных уравнений гиперболического типа

 

Глава 5. Приложение к задачам одномерных неустановившихся течений в разветвленных трубопроводных системах

5.1. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений как модель неустановившихся течений в системе с паровыми включениями

5.2. Исследование зависимости решения задачи Коши для системы дифференциальных Уравнений одномерных неустановившихся течений в системах с паровыми включениями от начальных параметров

5.3. Постановка и исследование задачи заполнения трубопровода при наличии внезапного сужения

5.4. К расчету краевых задач для гиперболических систем, заданных на графе и неустановившихся течений в разветвленных трубопроводных системах

5.5. Примеры решения на ЭВМ краевых задач для систем дифференциальных уравнений одномерных неустановившихся течений, заданных на графе, и сравнение с результатами натурных экспериментов

 

Практическая ценность и внедрение работы

 

Результаты и выводы

 

Литература

 

Приложение

 

Классификация граничных условий по типам местных сопротивлений разветвленных гидравлических систем.

 

Клапан. Течение жидкости через клапан описывается следующим соотношением между гидродинамическими параметрами:


p2 –p1= µ(t) w²/s

 µ(t) - закон закрытия клапана,
s - площадь проходного сечения

 

Диафрагма. Соотношение носит тот же характер, что и в случае клапана, только µ(t) не зависит от t

 

Соединение нескольких труб. Граничные условия задаются в виде:


p (i ) = p , w(i )=w , i = 1,2,3,..

 

Тупик.    w =0

 

Истечение в атмосферу через задвижку.

 

p - p1= µ w²/s.

где  µ - сопротивление задвижки,
s - площадь проходного сечения,
p1 - атмосферное давление

 

На конце трубопровода задано давление:    p = p (t)

  На одном из концов трубопроводной системы задан расход:    w= w (t)

 

Центральный насос.


p - p1= к (е),     е= - ос,

где р1 - давление на входе насоса,
с - расход, подаваемый насосом,
к - функция, е - (напорная характеристика насоса)

 

Обратный клапан.

 

Граничные условия моделируются, как и в случае клапана с той разницей, что ход клапана определяется из динамического уравнения:


m x''= f(t,x)

 

Центробежный насос.

 

Граничное условие моделируется соотношением:

 

p - p1= f(q),

где f - известная функция q - выражающая напорную характеристику.

 

Течение через клапан, открывающийся при наличии в системе перед клапаном паровой полости.

 

Граничное условие записывается в виде трех обыкновенных дифференциальных уравнений относительно давления и скорости, положения столба жидкости, приближающегося к запорному устройству. Подробнее см. список литературы (8)


Невмоклапан также описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Cм. также список литературы (8)

 

Пневмоклапан также описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. См. также список литературы (8)

 

Аналогия рассматриваемых моделей
математическим моделям других процессов

 

К краевым задачам для систем с подобными перечисленным выше граничным условиям вводятся математические модели процессов, изучаемых в различных областях знаний.

Медицина.
Гемодинамика.

Переходный процесс, возникающий при срабатывании сердечного клапана, описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа, при этом роль скорости играет расход h, а давления - напор q. Одним из граничных условий является условие вида   q= µ√h, где µ - параметр

Добыча нефти и газа

При глубоком бурении газовых и нефтяных месторождений возникает переходный процесс, описываемый системой гиперболических уравнений.

Одно из граничных условий, описывающих звено долото-забой имеет вид:

                 w = a p - bp²

Учитывая, что волновые уравнения записываются в симметрической форме относительно p и w, краевая задача для таких систем может быть сведена к рассматриваемым выше.


Радиотехника


При решении задач радиотехники приходится исследовать переходные процессы. В связи с использованием в технике ультракоротких волн волноводов, например, рупора, в качестве математической модели переходных процессов можно использовать систему телеграфных уравнений: где I  - сила тока, U - напряжение, Эти уравнения замыкаются начальными и граничными начальными и граничными условиями. В случае детектора с нелинейной характеристикой вида:
I=µU2

задача аналогична поставленным в литературе.

Подобие рассмотренных примеров математических моделей для различных процессов математическим моделям неустановившихся процессов в разветвленных трубопроводных системах дает основание решать задачу в общей постановке, поскольку решение представляет интерес для различных практических областей.

 

 

Реализация математического моделирования неустановившихся процессов в гидравлических системах

 

Если в трубопроводе произвольной формы с возможными разветвлениями имеется n местных сопротивлений, то есть агрегатов, посредством которых осуществляется функционирование трубопроводной системы, то движение жидкости по трубопроводу в рамках одномерной модели без учета вязкости, теплопроводности, описывается краевой задачей для системы уравнений, заданной на графе, объединяющей в себе уравнения для каждого ребра n. которые имеют вид:

-  уравнение движения

 

уравнение неразрывности


 

уравнение состояния


 

Здесь индекс n означает принадлежность к n-ому ребру графа (ребро индексируется номером большей по номеру вершины), µ - плотность, w - скорость в момент времени t - в точке x, p - давление в момент времени t в точке x, ω - коэффициент трения, d - диаметр.

За положительное направление ребра будем считать направление от меньшей вершины к большей.

Учитывая, что

уравнение неразрывности можно переписать в виде:

Для однозначного решения систему уравнений нужно дополнить начальными и граничными условиями, описывающими работу устройств, находящихся в вершинах графа. Начальные условия - это известные функции P(0)‹n›, w(0) ‹n› состояния системы в начальный момент времени.

 

Граничные условия могут иметь следующий вид:

 

- запорно-регулирующая аппаратура (клапаны, диафрагмы, вентили и т.п.)


W‹m› (M, t) = µv (P‹m›(M1, t) - P‹m-1›‹m›(M2, t))

 

где M1 и M2 означают начало и конец каждого ребра графа,

- фильтры, свободная поверхность, сосуды, тупики и т.п. выражаются в виде


е‹m› 1P‹m›(M1, t) + е ‹m›2P‹m-1›(M2, t)) + е ‹m›3W ‹m› (M1, t)+ е ‹m›4 W ‹m› (M2, t)=е(t),

 

где е ‹m› 1, е ‹m›2, е ‹m›3, е‹m›4, е(t) - известные функции,

 

- в случае ветвления ребер графа имеют место соотношения:

P‹i›(M‹k›, t) = Р‹k›(M‹i›, t), ∑ e‹i, m› w ‹m› (M ‹i, m›)=0, s‹m› · y‹m›= f ‹m›,

 

y‹m› - угол наклона ребра m к горизонтали.

 

Последние условия характерны для разветвленных трубопроводов. Таким образом математическая модель представляет собой систему дифференциальных уравнений гиперболического типа:

 

а также начальные и граничные условия.

 

В работе показано, что при выполнении условий гладкости для коэффициентов уравнений, начальных и граничных условий, поставленная задача имеет единственное решение, непрерывно зависящее от начальных и граничных условий. Отыскание аналитических решений подобных задач невозможно ввиду нелинейности уравнений, граничных и сложности разветвленной системы.

Наиболее удобным с точки зрения практических расчетов представляется аппарат разностных схем.

 

Опишем процедуру нахождения решения по этому методу.

Выделим прямоугольник, на котором меняются независимые переменные x и t, и разобьем его дополнительно на прямоугольники размером k∙h, где h, k - целые числа).

 

Величины k и h будем называть шагами по x и t. обозначим часть плоскости, ограниченную прямоугольником, вместе с самим прямоугольником через А, а множество точек, состоящих из узлов, являющихся вершинами малых прямоугольников, через А(1). Очевидно, что А(1)=А.

 

Имеет смысл говорить о значениях Р(i, j) и W(i, j) , где (i,j) -  узел с координатами i по x и j по t.

 

Систему уравнений перепишем в виде разностной схемы, при условии, что а∙k< h,

 

P(i , j) = P(i, j-1) - g(w(i, j-1) - w(i-1, j-1)) + rw(i, j-1)

 

w(i, j) = w(i, j-1) - f(p(i, j-1) - p(i -1, j-1))

 

Граничные и начальные условия аппроксимируем в виде:

 

начальные Р(i, 0) = p0, W(i, 0) = w0,

 

w(m, j) = u(m) (P(m, j) - P(m-1, j)) и т.п.

 

Таким образом построенная разностная схема является явной, и разностная задача разрешима единственным образом. Предложенный метод является обобщением метода характеристик, поскольку метод характеристик следует из него в частном случае, когда выполнено условие.

Иногда возможно аналитическое решение методом разделения переменных при однородных граничных условиях. Для этого в уравнении движения нелинейный член, характеризующий сопротивление трению потока жидкости о стенки трубопровода, линеаризуют, представив в виде Aw

 

Несмотря на преимущество в простоте реализации, метод характеристик все-таки не вполне эффективен из-за ограничений на шаги разностной сетки. В этом отношении более эффективен предложенный в работе метод, основанный на двухступенчатой разностной схеме. От метода характеристик он отличается менее жестким ограничением на шаги разностной сетки. Если на каком-то этапе расчета требуется уменьшить шаг, скажем, по времени, то при этом следуя предлагаемой схеме не требуется автоматически изменить шаг по пространственной переменной. Предлагаемая методика более удобна в реализации ввиду более экономичности схемы. Ведь во всех узлах каждого последующего временного слоя значения давления P и скорости жидкости W можно определить по предложенным формулам, исходя из того, что значения всех параметров на предыдущем слое известны, причем, такое определение однозначно. Показано, что предложенный метод сходится к точному решению задачи.

 

В работе также рассмотрена проблема нахождения эффективного алгоритма приближенного расчета изучаемых задач на графе. В литературе почти нет примеров расчета разветвленных систем. Естественно создание такого алгоритма, который бы учитывал все возможные случаи систем с всевозможными комбинациями участков, разделенных местными сопротивлениями различного рода. Необходимо, чтобы алгоритм обладал возможностью расчета любой системы с граничными условиями любого из из рассмотренных видов..

Алгоритм вычисления каждого граничного условия должен носить по возможности обобщенный характер, то есть не зависеть от конкретного расположения сечения системы. с этой целью вводятся константы, задание которых определяет положение рассмотренного сечения в системе с учетом положительного направления пространственной переменной. Для граничного условия типа клапана вводится "ложное сечение", характеризующее вместе с соседним параметры "на входе" и "на выходе" из этого граничного условия.

Удобство такого алгоритма складывается из:

простоты построения схемы,

небольшого объема памяти, необходимого для запоминания требуемой информации. Последнее связано с тем, что алгоритм расчета одного сечения используется любое требуемое число раз, такой алгоритм способен учесть геометрию любой реальной системы. Расчет каждого из сечений заканчивается оператором перехода к блоку-диспетчеру, в котором происходит присвоение необходимых параметров в следующем сечении и переход в соответствующее место алгоритма. Приведем пример расчета конкретной системы, состоящей из трех участков:

границами первого являются клапан и диафрагма, границами второго - диафрагма 1 и диафрагма 2, границами третьего - диафрагма 2 и сосуд, из которого жидкость подается по системе.

 

Разбив каждый участок на сечения, остается к программе добавить блок-диспетчер. Всего оказалось 16 сечений, из которых первое - клапан, шестое - диафрагма 1, десятое - диафрагма 2, шестнадцатое - сосуд. Блок-диспетчер имеет вид:

 

M0. "HA" M1[N]

M[1] K2= …, S(T)=…, K3=…,K=…, P1=…, "HA" M[1],

M1[6] ∙ K2=…, S(T)=…, K3=…, H1=…'K=…' "HA" M[3],

M1[10]∙ K2=…, S(T)=…, K3=…, H1=…, K=…, "HA" M[3],

M[16] ∙ A[16]=…, B[16]=…,L2=…, L3=…, "HA" M[2],

M1[2] ∙ K2= …, "HA" M[5], M[15] ∙ K2=…, "HA" M[3]

 

Пример 2. Система состоит из участков трубопроводной системы, связанных клапаном, диафрагмой, имеющей разветвление, заканчивающейся на одном из участков тупиком и на конце другого - сосуд.

 

Граф, моделирующий такую систему, состоит из восьми вершин: /p>

 

номера вершин

вид сечения  
1 клапан P1 – P2 = .14∙ .36 ∙ s1/s2∙ 2.1² кгс / м²
2,3,4 разветвление P2=P3=P4 W2=W3 +W4
5 тупик W=0
6, 7 диафрагма P6 - P7 =.14∙ .36
8 сосуд P= 30000 кгс / м²

 

где s1/s2 - прямая с угловым коэффициентом наклона 24/23 и 27/26 на разных участках.

 

Начальные условия:

 

W(0,x)= 2.1 м/сек P(0,x)= 15000 кгс/ м²

 

 На рис. 1 приведен результат численного расчета этой системы и сравнение с результатами натурных испытаний.

 

Пример 3. Система состоит из одного участка. В первой вершине - сосуд с постоянным давлением.

Во втором сечении - клапан, который моделируется так:

P1 – P2 = .14∙ .36 ∙ s1/s2∙ 2.1² кгс/ м²

 

Начальные условия:

 

W(0,x)= 2.1 м/сек P(0,x)= 15000 кгс/ м²

 

Расчет, проведенный по предложенной в работе методике имеет вид, представленный на рис. 2

 

Отдельно рассматривается также задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений как модель неустановившихся течений в системах с паровыми включениями. Это явление особенно характерно для криогенных систем, когда образуется паровая полость между фронтом жидкости и запорной арматурой., что обусловлено неизбежными теплопритоками через изоляцию и тепловыми мостами при остановке циркуляции криогенной жидкости. При этом, в момент открытия запорного органа начинается понижение давления в паровой полости, жидкость приходит в движение и разгоняется.

Математическая модель этого процесса представляет собой уже рассмотренные выше уравнения, но ввиду того, что параметры столба жидкости в процессе заполнения меняются плавно, т.е. их изменением за время пробега двойной акустической волны можно пренебречь, можно принять плотность жидкости постоянной и учитывать волновые процессы только при подходе к запорному органу. При этом уравнение неразрывности , вырождаясь, приводится к уравнению Бернулли в динамической форме. Процесс разгона столба жидкости можно привести к системе уравнений:

 

при начальных условиях:

 

 

 

где Р - давление на фронте, Р1 - давление в резервуаре, µ - удельный вес жидкости, L, w - положение фронта жидкости и скорость на нем, d - диаметр трубопровода, ω, j, к, к1 - коэффициенты

 

Рассмотренная задача имеет в частных случаях аналитическое решение. В общем случае удается доказать существование устойчивого решения при определенных ограничениях, несмотря на наличие малого параметра при производной. Проведены расчеты зависимости решения задачи Коши от величины паровой полости и получены результаты, ставшие основой для получения авторских свидетельств на изобретения.

 



 

(Продолжение)

июль, 2012 г.   

Copyright © Яков Иовнович    


Обсудить на форуме

 

Текст иврит

 

Страница 1 из 3
  ГлавнаяДневник мероприятийПлан на текущий месяц   copyright © rehes.org
Перепечатка информации возможна только при наличии согласия администратора и активной ссылки на источник! Мнение редакции не всегда совпадает с мнением автора.