English   Hebrew   
автор лого - Климентий Левков Дом ученых и специалистов Реховота
(основан в июле 1991 года)
 
 
В Доме ученых и специалистов:
Культурный центр
Oтдела Aбсорбции
Программа
мероприятий
Культурного центра отдела абсорбции

Научно-
исследовательский центр «Русское еврейство в зарубежье»

Архив:

Новую книгу Аси Энтовой "ОСОЗНАВАЯ ВРЕМЯ" читайте в библиотеке Дома ученых и специалистов по ул. Вайнер, 2, Реховот.

 

Курсы "Обучение основным навыкам работы на компьютере" «...Каждая из перечисленных тем представляет собой отдельный блок из двух занятий... Основной упор будет сделан на получение практических навыков... Выбери тему КУРСА и запишись


 


 
 
 
Дом ученых и специалистов Реховота
 

Заседание 31.07.2014


Математика для пользователей

 

Д-р Климентий Левков

 

Рассматриваемая тема и затронутые в ней вопросы связаны с математическим образованием. Первый вопрос: "Зачем изучать математику?" является сугубо мотивационным. Следующими являются извечные вопросы дидактики: "Чему учить?" и "Как учить?". Поставленные вопросы являются наиболее острыми, так как в прикладном аспекте математика является базовой дисциплиной для множества других учебных предметов и инструментом для научных исследований и инжиниринга . Подготовка этой лекции связана также с несколькими личными впечатлениями, которые в разные жизненные периоды имели отношение к математике.

 

Первым впечатлением явилось прочтение статьи из цикла "Готовьтесь к вступительным экзаменам по математике" в журнале "Наука и жизнь" в конце 60-х годов прошлого века. Автор - доцент механико-математического факультета МГУ - предложил как пример решить математическую задачу, условия которой были настолько лишены здравого смысла, что вызвали у меня невольное отторжение и нежелание её решать. При дальнейшем анализе условий данной задачи, как бы спохватившись, автор статьи сообщил читателю о том, что если условия задачи при прочтении вызвали у будущего абитуриента отрицательные эмоции, то он советует желающему получить высшее образование на математический факультет не поступать. Поясняя свою мысль автор статьи отметил, что для настоящего математика смысл условий задачи интересен только с точки зрения математической модели, которая описывается математическим языком.

 

Вторым впечатлением явилась реакция и ответ на вопрос "А зачем, вообще, нужна математика и её изучение?". Этот вопрос был мной задан известному в своей области профессору математики Тель-Авивского университета. Данный вопрос изначально привёл профессора в замешательство. Затем, не дав обобщающих и чётких определений, он прочёл мини лекцию о роли математики в конкретных реализациях. Это было неудивительно. Задать вопрос о необходимости математики человеку, для которого она является специальностью и частью его жизни - это всё равно как задать вопрос о смысле жизни вообще или его жизни, в частности.

 

Третье впечатление определилось в процессе наблюдения за ходом и результатами решения трёх элементарных математических задач обладателями второй и третьей академических степеней, включая профессоров. Данные задачи в качестве "удивлялок" до сих пор гуляют по Интернету будоража воображение обывателей от математики.

 

Четвёртым впечатлением явилась встреча с профессором математики Сибирского аэрокосмического университета Балашовой Ольгой Юрьевной в 2011 году на научной конференции, которая проходила в Ариельском университете. В личной беседе по теме дидактических методов при изучении математики она отметила, что всё человечество, которое имеет какое-либо отношение к математике подразделяется на три класса: вычислители, пользователи (прикладники) и, собственно, математики.

 

В соответствии с данной классификацией к вычислителям относятся все те, кто используют математические знания, полученные в школе или в разного рода учебных заведениях, исключительно для расчётов и вычислений по жёстким, утверждённым или принятым методикам, которые содержат выведенные расчётные математические выражения (формулы) без их модификации или преобразования. Это самая многочисленная группа людей, к которой относятся специалисты, использующие в своей работе готовые программы с фиксированным набором расчётных формул или фиксированным алгоритмом стандартизированных вычислений.

К пользователям относится группа специалистов, деятельность которых предполагает полную свободу действий по выбору, адаптации и использованию всей существующей математической теории в приложении к решению конкретных задач в области науки, техники и технологий. В эту группу входят также и преподаватели математики, так как их деятельность предполагает знание множества разделов математики, методик преподавания и решение большого многообразия учебных задач в различных вариантах.

Математики являются самой малочисленной группой специалистов, имеющих отношение к математике. Именно они развивают математическую теорию во всём многообразии возможных приложений.

 

Руководствуясь этими впечатлениями и предложенной классификацией я попытался более развёрнуто определить отношение к математике той группы специалистов, которая названа пользователями. Эта группа мне наиболее близка, так как к ней относятся все научные работники и инженеры в области физики, химии, биологии, инжиниринга и технологий. По ряду критериев к этой группе отношусь и я сам.

 

Пользователи математики являются категорией специалистов, реализующих высшие формы человеческой деятельности. Их деятельность предполагает свободу принимаемых решений в рамках ограничений, определяемых нормативными документами и здравым смыслом. Если свобода принимаемых решений связана с интуицией, воображением и логическим мышлением, то одной из составляющих, определяющих границы здравого смысла, является математика. Здравый смысл в данном случае основан на выборе математических моделей, расчётах и последующем количественном анализе, который осуществляется с помощью адаптированного к конкретной задаче математического аппарата.

 

Инновационные задачи в науке и инжиниринге, решение которых связано с большими временными и финансовыми затратами, требуют предварительного математического моделирования. В настоящее время принято считать, что познание любого реального объекта исследования (процесса или системы) возможно лишь в том случае, когда удаётся построить его адекватную математическую модель. Математическое моделирование позволяет получать новые знания об исследуемом объекте или системе любой физической природы. Это особенно важно при выборе оптимальных вариантов построения системных объектов.

 

Теоретические методы математического моделирования основаны на изучении закономерностей протекающих в объекте процессов, определении соответствующего этим закономерностям математического описания, обосновании и принятии упрощающих предположений, выполнении необходимых выкладок и приведении результата к принятой форме представления модели.

 

Получение математических моделей в общем случае - процедура неформализованная. Поэтому моделирование элементов проектируемой системы обычно выполняется специалистами конкретных научных и технических областей с помощью традиционных экспериментальных исследований. Этими специалистами (как правило, исследователями или системными разработчиками) принимаются основные решения, касающиеся выбора вида математических соотношений, характера используемых переменных и параметров.

 

Примерами простых и наиболее распространенных математических моделей являются линейные, квадратичнные и экспоненциальные математические функции вида:

 

y = k*x; y = k*x + b; y = k*x2; y = k*x2 / 2; y = k*x2 / 2 + b
y = e-x; y = 1 - e-x

 

Линейные функции типа y = k*x + b наиболее часто, к примеру, используются для описания характеристик преобразования различного рода датчиков, а квадратичные и экспоненциальные функции для описания различного рода явлений и моделирования множества процессов. Вполне естественно, что практическому использованию данных математических функций при изучении математики необходимо уделять более повышенное внимание.

 

Отцу кибернетики - Но́рберту Ви́неру принадлежит высказывание о том, что любая совершенная кибернетическая система может сделать всё что вы захотите, но никогда не скажет чего вам хотеть. То же самое можно сказать о математике как о среде, у которой существуют большие потенциальные возможности в приложении к моделированию, но эти возможности для каждого конкретного случая должны быть видимы и найдены пользователем. Таким образом, существует проблема поиска, выбора и адаптации необходимых для решения конкретных научных и производственных задач математических моделей.

 

Для того чтобы что-то выбрать, необходимо прежде всего описать задачу. По характеру описания определяются критерии предмета поиска и место его нахождения. Например, человек собирается провести отпуск в горах в качестве туриста. Предварительно им описываются условия пребывания и моделируются все возможные ситуации, которые могут произойти в горах. На основании этого анализа выбирается перечень предметов, которые должны быть на туристе и в его рюкзаке, но в границах личной грузоподъёмности и выносливости. После этого определяется магазин или пункт проката, где можно приобрести или взять на прокат необходимые вещи.

 

Восприятие и описание конкретных жизненных ситуаций у различного рода специалистов имеет свои особенности и свой специфический язык. В качестве ещё одного примера можно привести описание одной и той же жизненной ситуации писателем и физиологом.

Писатель: "При виде поля боя, усеянного телами его товарищей, сердце у него замерло, в голове помутилось, и его спутник воскликнул: как ты бледен, на тебе лица нет!".

Физиолог: "При виде поля боя, усеянного телами его товарищей, он испытал сильную отрицательную эмоцию. Соответствующая реакция мозга породила сложный процесс в вегетативной нервной системе с относительным преобладанием стимула в ее парасимпатическом отделе. В результате понизилось выделение норадреналина надпочечниками, а из-за этого замедлились и ослабели сокращения сердечной мышцы, произошло сужение сосудов головного мозга, вызвавшее легкий спазм и нарушение мозгового кровообращения, а также сужение мелких подкожных сосудов лица, обусловившее бледность кожного покрова".

 

Решению научных и производственных задач, подлежащих в последствии моделированию и анализу предшествует формулирование их условий сначала на естественном, а затем на математическом языке. Математический язык является формальным языком математиков и специалистов имеющих отношение к целому ряду отраслей науки и инжинирингу. Этот язык более краток и ясен, чем обычный, потому что оперирует точными понятиями, конкретен и состоит из логических высказываний с универсальными логическими символами. Современная математика имеет в своем арсенале очень развитые знаковые системы и выразительные средства, позволяющие отразить тончайшие оттенки мыслительного процесса. Знание математического языка дает богатейшие возможности для анализа научного мышления и всего процесса познания.

 

Вместе с тем одной из существенных проблем современного математического образования является отсутствие устойчивых навыков перевода вербальных описаний на язык математики и обратного перевода математических выражений на естественный язык. Отсутствие математического восприятия и описания реальной действительности является первопричиной низкой математической культуры большинства специалистов, получивших высшее образование.

 

Чтобы ощутить те существенные недостатки в математическом образовании, связанные со способностью описывать научные проблемы и производственные ситуации математическим языком, следует обратиться к одной из задач, которые определили третье впечатление.

 

Задача. Бутылка с пробкой стоит 1 доллар и 10 центов. Бутылка стоит на 1 доллар дороже пробки. Сколько стоит бутылка и сколько пробка?

 

Эту задачу не решили правильно девять из десяти специалистов с высшим образованием. Причиной данного явления является, в первую очередь, недостаточность навыков в специфически математическом восприятии и описании реальных явлений и процессов, а также в их переводе при чтении из математических в вербальные описания. Для этого необходим определённый акцент в обучении математическому письму и чтению наряду с изучением математических преобразований первичных описаний с целью их упрощения до уровня рабочей формулы.

 

Простыми примерами для математического письма и чтения являются, например, формулирования переместительного и сочетательного законов сложения и умножения, которые описываются как на естественном, так и на математическом языках. В данном случае является очевидным, что математическая запись в несколько раз короче словесного определения.

 

Вместе с тем следует сказать, что выразительные возможности естественного языка не безграничны. Например, слепому от рождения человеку невозможно словесно описать какой-либо цвет. В представлении тонких оттенков настроения или психологического состояния музыкальные произведения превосходят вербальные описания. В компактном описании целого ряда явлений и процессов математические выражения превосходят естественный язык, а во множестве случаев являются единственно возможным средством их представления. Вместе с тем, преимущества естественного языка проявляются в поисках подходящих математических моделей.

 

Поиск подходящей математической модели является составной частью процесса математического моделирования. Для того чтобы что-нибудь найти необходимы товароведческие знания. Товароведение - это научная дисциплина, предметом изучения которой являются потребительские свойства товаров, их классификация, кодирование и стандартизация.

 

Товарами являются разнообразные ресурсы, необходимые для удовлетворения человеческих потребностей, в том числе и научно-информационных потребностей при решении проблемных задач. Т.е., по аналогии, товарная идентификация может быть применена и к единицам знаний. В этом случае каждая единица знания должна быть вербально описана и должна иметь типовой перечень рекомендаций по её применению. Тем самым упрощается процесс поиска математических моделей, так как у каждой единицы знания имеется её пользовательское определение.

 

В качестве простого примера пользовательского определения может служить математическая модель со следующим словесным описанием: "Если два производительных фактора A и B, включившись в процесс одновременно, работают на достижение совместного конечного результата, то время достижения этого результата равно обратной величине суммы их производительностей". Математическое описание этого определения представляется в виде выражения:

 

t = a * b / (a + b),
где a - время, за которое вся работа (весь процесс) будет выполнена(ен)
производительным фактором A;
b - время, за которое вся работа (весь процесс) будет выполнена(ен)
производительным фактором B.

 

Эта модель представляет собой множество задач, имеющих отношение к механике, экономике, электротехнике и другим предметным областям. Это известные всем школьные задачи на наполнение бассейна двумя трубами, на встречу автомобилей и многие другие подобные задачи. Однако, найденная математическая модель не всегда полностью соответствует требуемой. В этом случае необходимо преобразование этой модели в необходимую форму.

Как первый пример пользовательского логического преобразования данной модели может рассматриваться вариант предыдущей задачи, но при условии неодновременного включения в процесс производительных факторов и тогда математическое выражение (модель) принимает следующий вид

 

t = τ + ((b - ) / b) * (a*b) / (a + b),
где τ - время запаздывания включения в процесс производительного фактора A.

 

Вторым примером преобразования этой же модели является вариант определения требуемой производительности фактора B при наличии известных A и t. В этом случае выражение примет вид b = a * t / (a - t)

.

Пользователь, в отличии от вычислителей, должен уметь использовать изоморфные математические модели других предметных областей. Одним из примеров такого использования являлся поиск и интерпретация математической модели поверхностного эффекта и эффекта близости в проводниках при разработке болометрического измерителя выходной мощности УВЧ генераторов. В качестве модели была использована формула для расчёта активного сопротивления витых пар кабелей связи.

 

Кроме объединённой формулы расчёта активного сопротивления тела накала болометра в проекте были использованы:

а) формула зависимости омического сопротивления тела накала от его температуры;

б) формула зависимости мощности, генерируемой источником УВЧ, от величины внутреннего сопротивления;

в) закон Стефана-Больцмана для функциональной связи между температурой тела накала и рассеиваемой на нём мощности;

г) закон Ричардсона-Дешмана для количественной оценки тока эмиссии электронов, которые испускает нагретое тело накала;

д) критерий устойчивости по Ляпунову и др.

 

Приведенный пример иллюстрирует использование при реализации различного рода проектов всех доступных материальных и информационных ресурсов, включая и математический аппарат. В этой связи необходимо отметить, что одним из основных квалификационных критериев является способность специалиста находить, интерпретировать и применять необходимые математические модели. Это требует, на данный момент, постоянной математической подготовки на прикладном и пользовательском уровнях.

 

Пользователь математики в отличии от математика прикладника - это специалист, который не получил специального математического образования, но использующий необходимый математический аппарат в своей профессиональной деятельности. Пользователь математики будучи специалистом в своей области наиболее эффективен в первичном вербальном, а затем математическом описании реальных объектов и процессов, а также в поиске аналогий, формулировании и постановке задач.

 

Выводы и предложения.

1. Следует согласиться, что одной из основных задач математического образования является воспитание у школьников и студентов математического восприятия окружающей реальности, т.е. различного рода процессов и явлений.

2. Следует признать логичным разделение людей по отношению к математике на математиков, пользователей и вычислителей.

3. Необходимо согласиться с тем, что математика для пользователей востребована прежде всего для чтения и описания на математическом языке реальных процессов и явлений, а также для замены натурных экспериментов их математическими моделями.

4. Необходимо определиться с различиями в подготовке математиков-разработчиков, математиков-прикладников и пользователей математики.

5. Ввести понятие "пользователь математики" и ввести квалификационные критерии для этой категории специалистов, которые включают:

 а) умение пользоваться математическим языком описаний для перевода в математические выражения вербально описанные состояния различного рода систем в статике и динамике;

 б) умение читать и формулировать на естественном языке математические описания;

 в) умение в рамках математического товароведения осуществлять функциональную идентификацию и поиск необходимых математических моделей;

 г) умение интерпретировать изоморфные математические модели для конкретных реализаций;

 д) знание методики и владение навыками математического моделирования, которые позволяют осуществлять замену натурных экспериментов и процессов их математическими моделями.

6. Пользователь математики должен владеть одной из компьютерных математических программ типа MATLAB, программного пакета MAPLE и т.п.

июль, 2014 г.

Copyright © Д-р Климентий Левков.


Прочитал(а)? Оставь, пожалуйста, комментарий!

 

 

Страница 1 из 1
ГлавнаяДневник мероприятийПлан на текущий месяц copyright © rehes.org
Перепечатка информации возможна только при наличии согласия администратора и активной ссылки на источник! Мнение редакции не всегда совпадает с мнением автора.