автор лого - Климентий Левков Дом ученых и специалистов Реховота
(основан в июле 1991 года)
 
 
В Доме ученых и специалистов:
----------------
 
 
Архив
 
Дом ученых и специалистов Реховота
 

Проект "Научно и понятно"    

Начало

 

09.01.2011

 

Теорема хладнокровия

Роман Трахтенберг (Реховот)

 

Понимаю, кого-то отпугнет научность названия этой статьи. Что поделать. Существуют интересные и полезные для повседневной жизни научные результаты. Чтобы понять их требуются небольшие усилия. Можно надеяться – они окажут человеку большую услугу, чем сенсационная крими-эро информация, которую можно кушать без труда.

Читателю стоит ознакомиться с одним из таких великих открытий – теоремой Котельникова-Шеннона. Его обнаружили независимо друг от друга российский академик В.А. Котельников (радиосвязь, космос) и американский кибернетик Клод Шеннон (теория информации, компьютеры).

 

Теория автоматического управления – штука сложная. Она насыщена математикой. Причем далеко не той, о нелюбви к которой ещё со школы часто вспоминают телекомментаторы, когда пытаются оправдаться, сбиваясь при делении три на полтора.

 

Извините, на всякий случай:

Математика – это сеть взаимосвязанных абстрактных закономерностей, которым подчиняется реальный мир.

Хотя никто не спрашивал "реальный мир" согласен ли он на это подчинение.

 

Теорию ТАУ изучают инженеры, чтобы правильно построить свою технику, чтобы надежно летали самолеты, ехали машины, четко показывали телевизоры, ну и всё такое прочее.

Мне довелось много лет преподавать эту науку, и должен признаться, что сам с большим трудом пробивался через некоторые её разделы. Сочувствовал своим студентам и старался прояснить им эти штуки "на пальцах".

Помню, как на меня смотрели сотни внимательных глаз, и так хотелось открыть им те истины, которые увлекли самого и казались непременно важными для этих молодых людей.

 

Но какое это имеет отношение к нам, вправе спросить читатель, интересующийся путешествиями, политическими или семейными коллизиями?

Смею сказать, что некоторые открытия в ТАУ каждому полезно осознать. В понятной форме это следовало бы включить в программу средней школы, чтобы все умели измерить площадь квартиры, сообразить о скорости автомобиля, расходе электричества... А также поняли естественный закон, позволяющий, скажем, быть хладнокровным.

 

Сначала – немного терпения.

Мы живем среди всевозможных сигналов. Так называют любые воздействия на наши органы чувств. Для простоты остановимся на звуках речи.

Кстати, чего проще взять и произнести "завтра", а другому человеку услышать и понять это слово? Но последнюю сотню лет множество ученых и инженеров бьются, желая постигнуть как это человек делает, чтобы применить в технике – и не получается.

Кто-то скажет – да в обычном мобильнике имеется голосовой набор. Только вот сижу я (и несчетное число коллег во всех уголках мира) и мучаем клавиши. Нет бы просто произнести фразу, стекающую с языка в микрофон и пусть он передаст её в мой верный компьютер, а тот мигом напечатает текст. Не умеем, не изобрели. Хотя крутимся годами где-то близко.

Только посмотрите, ещё совсем недавно царствовали магнитофоны, покупали кассеты… И вдруг всё это можно выбрасывать, а купить ди-ви-ди или нечто подобное… Такова же и судьба фототехники. Где они объективы, пленки, закрепители и проявители, темные комнаты и красные фонари? Всё взяли на себя дигитальные элементы.

Не раз звучали в рекламах сенсационные сообщения об окончательном успехе в делах с распознаванием речи.

Не будем входить в детали, но если бы действительно кому-то уже удалось создать надежные программы или устройства, способные "услышать-записать буквами", можно не сомневаться – к сегодняшнему дню вся торговля была бы затоплена "диктофонами". Но полки магазинов пусты…

 

Что на самом деле открыто и явилось входом во всю стихию сигнальной техники, это теорема К-Ш:

Закон, или способ передачи обычного непрерывного сигнала дискретной выборкой его значений без потери информации.

 

Конечно, эта теорема излагается и доказывается с помощью серьезной математики. Однако она так близка к обычному здравому смыслу и наглядным графикам, что можно упростить нашу задачу.

 

О чем идет речь? Допустим вы произнесли слово "завтра". Этот сигнал – звуковая волна – нажимает на диафрагму микрофона, к которой крепится конденсатор или другой преобразователь механического перемещения в электрическое напряжение. Если подключить микрофон к осциллографу (телевизору для технических целей), на экране увидим "рисунок" сигнала (см. рис.1).

 

Во времена изобретения техники усиления и передачи звука такой сигнал бережно передавался по проводам или радио. Судьба аналогового (непрерывного) звука была тяжела. Любые шумы-наводки, помехи – приставали к нему, добавляли свои микровольты напряжения, и отличить их от полезных вольт было невозможно.

Тогда придумали "дигитальную" (импульсно-цифровую) кухню. Для превращения непрерывного сигнала в импульсный он "опрашивается" через определенные промежутки времени To (Топроса ), с частотой fопроса.. В результате вместо имеющегося "сплошного" сигнала получается пачка импульсов (вертикальные стрелки на рис.1).

Затем каждый импульс по высоте (амплитуде) разделяют на мелкие равные доли, их просчитывают и получают число. Таким способом аналоговый сигнал (слово) заменялся пачкой импульсов, а затем – группой цифр. С такой информацией удобнее работать – усиливать, передавать, изменять. Помехи и шумы к цифровому сигналу прицепиться уже не смогут.

 

Теорема, которая нас интересует, уверяет, что можно передать по каналу связи эти импульсы, а затем из них восстановить исходный сигнал без потери информации.

Но как же без потери? Да любой скажет, что такое невозможно. Если из сплошного потока чего-нибудь выхватить фрагменты, то всё что было между ними потерялось! Однако нашлись гении, которые высмотрели здесь нечто неожиданное и осуществили эту нахальную идею.

 

По-видимому, чтобы не потерять информацию надо возможно чаще опрашивать сигнал. Если довести частоту опроса до бесконечности, вот тогда, верно, ничего не потеряем. Только что делать с таким количеством импульсов? Сколько надо ждать пока оно будет передан по линии связи, какое потребуется запоминающее устройство для сохранения необъятного массива чисел?

Ясно, что-то здесь не так.

 

На Рис.2 показан участок сигнала, "растянутый" по амплитуде и по времени. Естественно было ожидать, что за малые промежутки времени сигнал не успеет изменяться. Но, как видно, в нем появились новые мелкие подробности. Если мы рассматриваем звук голоса, то столь частые изменения просто невозможны. Голосовые связки человека не могут колебаться с частотой выше 17 килогерц.

Оказывается, на сигнал

Полезные гармоники не могут иметь частоту выше определенного значения. Эта частота называется частотой среза fсреза. Получается, что слишком частый опрос сигнала вреден. Разумеется, слишком редкий опрос тоже не годится. Видимо, существует таинственная оптимальная частота опроса.

 

Здесь нам пора вспомнить великого математика и физика Жана Батиста Жозефа Фурье (1768-1830), открывшего удивительное свойство сигналов.

Это не тот Шарль Фурье, живший примерно в то же время, который придумал устроить общество на новых принципах равенства и братства. В советское время его социалистические идеи преподносились, как кладезь философской мысли. И не только мысли. Под городом Горьким (ныне снова Нижний Новгород) в огромном "соцгороде" при автозаводе ГАЗ (между прочим, построенном американцами, о чем раньше боялись, а и теперь не любят вспоминать) по идее этого философа было построено особое жилье. Оно предполагало полную свободу личности. Каждый человек имел в коридоре свою личную комнату и мог, не угнетая себя узами брака, каждый день (вернее ночь) проводить с той личностью, которая ему более нравилась. Когда я в 1954 проходил там практику, существовало несколько подобных корпусов, где в каждой комнатке ютилась семья. Надуманную идею не приняла жизнь.

В отличие от философа открытия ученого дало в руки поколениям инженеров абсолютный инструмент для построения точных знаний, понимания сути окружающих нас явлений, создания современной науки и промышленности телефонии, ТВ, компьютеров, Интернета – всей современной цивилизации. Открытое Фурье, конечно, было бы со временем обнаружено другими исследователями. Но практически в пустую, были бы потрачены годы, а возможно и десятилетия напряженного труда и жертвы среди ученых и инженеров.

А наш мир больше интересовали интриги Людовиков и Помпадур. И всевозможные мистические легенды.

 

Вернемся, однако, к нашей теме. Около 200 лет назад Жан Фурье открыл, странную вещь: любой сигнал можно представить в вид суммы простых синусоид.

Оказалось природе вообще свойственно прятать в простые вещи начинку в виде этих самых синусоид. Каждый удивлялся сверкнувшей цветной радуге в утренней траве. Это капелька росы распаковала простой невидимый луч Солнца и показала его спектр из семи составляющих цветных синусоид. На заре истории люди, наблюдая после дождя радугу, приходили в восторг и говорили, что это сам Бог посылает привет.

Так и любой звук, например, произнесенное "завтра", можно разложить на простые синусоиды. Если эти "писки" разной высоты, сложить, то к немалому удивлению получаем в точности – "завтра". Вероятно, и наше ухо и мозг такую операцию сложения всегда выполняют.

 

На рис.3 показан так называемый "спектр" сигнала. Это компактное изображение всех его гармоник: амплитуда – по оси ординат, частота – по оси абсцисс.

Мы уже договорились, что удобнее передавать сигнал не в естественном виде, а в форме импульсов. Логично предположить, что такой импульсный сигнал тоже будет состоять из гармоник.

 

На рис.4 показан спектр импульсного сигнала.

Оказалось, что он, как и ожидалось, похож на спектр исходного сигнала, только этих спектров стало много, и они сдвинулись относительно друг друга: за первым спектром следует второй, начинающийся с частоты fопроса, затем третий – с частоты 2fопроса и т.д.

В технике связи для выделения исходного сигнала применяют полосовой фильтр. Его задача пропустить все гармоники исходного сигнала и отрезать посторонние. Из Рис 4 видно, что, объединяя пропущенные фильтром гармоники, мы получим "спектр сигнала на выходе фильтра", который совсем не похож на спектр исходного сигнала. Ясно, что, складывая синусоиды этого спектра, получим искаженный сигнал. Вместо "завтра" услышим "вчера".

 

Именно на этом месте сотню лет назад задумались Котельников и Шеннон. И нашли гениальный выход.

Мы тоже сможем догадаться. И даже без помощи формул и уравнений. Разгадка этой тайны настолько наглядна, что грех её не показать.

Вглядимся в Рис.4. Проблема в том, как выделить один из "колокольчиков" сложного спектра. Сейчас боковые спектры накладываются и искажают картину.

Что делать? Конечно, надо увеличить частоту опроса fопроса так, чтобы колокольчики-спектры раздвинулись и перестали перекрывать друг друга.

 

Не так широко, как на Рис.5, а точно так как на Рис.6. Но при этом стало очевидно искомое оптимальное значение частоты опроса:

 

fопроса = 2 f среза

 

Итак, получили решение великой теоремы.

 

Как её применить? Всё очень просто:

 

надо сообразить какая наибольшая частота содержится в исходном сигнале и выбрать частоту его опроса в два раза большую. Тогда полученная выборка значений позволит восстановить исходный сигнал без всяких искажений, без потери информации.

 

Странно, но самые большие открытия, будучи совершенными, почти сразу превращаются в глазах всех – в само собой разумеющееся. Словно Природа с улыбкой наблюдает, как рьяные люди пробираются в её тайники, и только затем слегка разжимает пальцы, выпускает на волю давно искусно созданные секреты.

 

В заключение несколько примеров на вскидку.

 

В зале прибытия аэропорта сотни встречающих не сводят глаз с табло. Здесь в строчке прибывающего рейса должно появиться слово LANDED – приземлился. Все немного тревожатся, хотя и не показывают вида. Все-таки посадка, статистика, погода…

Не следует горячиться, а вспомнить о теореме хладнокровия.

Как часто надо смотреть на табло? Теперь это легко определить. Известно, что самолеты садятся с интервалом не менее 180 секунд. Чаще нельзя – турбулентные вихри предыдущего самолета должны затихнуть. Значит самый короткий период в сигнале 3 минуты. Следовательно, по К-Ш оптимальный период опроса T0 = 1.5 минут (разумеется, можно пользоваться частотой f или периодом Т = 1/f).

Обычно в аэропортах берут период обновления информации 3 минуты, практически этого достаточно. Отсюда при конструировании табло выбирают его размер, число строк. Учитывают также время, в течение которого желательно сохранять сообщения о прибывших самолетах, чтобы слегка опоздавшие не тревожили напрасно администрацию вопросами.

 

Дежурный оператор на пульте управления электростанцией не может непрерывно наблюдать за стрелкой какого-либо из приборов на обширном пульте, а должен одновременно оценивать состояние сразу множества индикаторов. Конечно, имеется автоматика, но для сложных объектов все не предусмотришь, остаются чрезвычайные случаи и тогда надежда на дежурных инженеров.

Как успеть за всем, не прозевать аварийную ситуацию? Теорема К-Ш дает четкий расчет. Например, термометр не может быстро менять показания, на него достаточно взглянуть раз в пять минут Скорость турбины более подвижна, её надо контролировать каждые 30 секунд. Напряжение генератора нельзя упускать из вида на 5 секунд. И так далее (цифры условны). Теорема К-Ш позволяет также определить предельное число приборов на пульте, необходимое количество операторов.

 

Руководитель не может неотступно контролировать действия каждого работника. Он должен выбрать разумную частоту переключения внимания. Тот же случай, когда требуется выделить наиболее активные и определяющие направления, оценить динамику важных решений, принимаемых подчиненными, найти оптимальный интервал и предельные сроки контроля.

 

Семейный врач сохраняет здоровье сотен пациентов. Невозможно вникать постоянно в тысячи нюансов. Но в то же время нельзя прозевать опасные для жизни случаи. Конечно, здесь работает талант и интуиция доктора. Но неплохо осознать и использовать теоретическую основу. Методика та же: выделить группу наиболее тревожащих больных, определить для каждого из них самую частую гармонику перемен состояния и выбрать периодичность осмотра.

 

Каждый может продолжить аналогичные примеры в разных сферах жизни.

 

Возможно, кто-то из читателей заметит: стоило ли тратить столько времени для доказательства теоремы? Достаточно было привести результат, который так прост и нагляден.

Это не безобидное заблуждение. Пора бы отнести к разряду вредных привычек: "один авторитет сказал!" Не здесь ли исток разных фанатических течений, которые со временем приносят человечеству непоправимые бедствия.

Этим отличается настоящая, вооруженная математикой, наука: никаких авторитетов, только железная логика уравнений, а в результате – истина.

 

Уф, много читать, да ещё и со всем вниманием? Но автор не берется посоветовать, как сделать выборки из этого текста без потерь. "Словам тесно, а мыслям просторно" – так учат составлять тексты. Поэтому прочитать статью "поперек строк" (некоторые умеют) – значит потерять не просто информацию, но и нечто более существенное. Что поделаешь.

 

(Продолжение следует)

Copyright © 2011 Роман Трахтенберг    

январь, 2011 г.    

Обсудить на форуме



Страница 1 из 1
  ГлавнаяДневник мероприятийПлан на текущий месяц     copyright © rehes.org
Перепечатка информации возможна только при наличии согласия администратора и активной ссылки на источник! Редакция не несет ответственности за отзывы, оставленные посетителями под материалами, публикуемыми на сайте.
Мнение редакции не всегда совпадает с мнением автора.